数形结合显身手
河南省滑县第六高级中学王红敢
河南省鄢陵县第一高中王保国
数形结合思想是一种很重要的数学思想，.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。使用数学思想可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
纵观多年的高考试题，巧妙运用数形结合思想解决一些抽象的数学问题，可以起到事半功倍的效果。数形结合的重点研究的“以形助数”.巧妙的运用数形结合思想，不仅可以直观容易发现解题途径，而且可以避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度。
数形结合思想的结合点主要体现在以下几个方面：
（1） 实数与数轴上点的对应关系
（2） 函数与图像的对应关系
（3） 曲线与方程的关系
（4） 以几何元素或者几何背景建立起来的概念，比如向量
（5） 所给的等式、不等式或者代数式的结构含有明显的几何意义
据此利用数形结合思想可以解决如下问题：
一、数形结合思想在解集合题中的应用
集合的一种直观表示法——文氏图，具有形象直观的特点，将集合问题图形化，有助于准确地显示出各集合间的关系，捕捉有用的解题信息，启发解题思路。因此我们可以借助集合的文氏图来解决有关集合问题。
例1(2004年全国Ⅰ•理科)设A、B、I均为非空集合，且满足AÌ__BÌ__I，则下列各式中错误的是( )
A.(CIA)∪B＝I B.(CIA)∪(CIB)＝I
C.A∩(CIB)＝○∕ D.(CIA)∪(CIB)＝CIB
解析：根据AÌ__BÌ__I作出集合A、B、I的文氏图，易知B错误，故选B.
点评：在集合及其运算问题中，利用文氏图，将图形与符号、图形与文字转译，可将抽象的集合问题具体化，使问题得以解决。
例2设集合 , ,若 ，求实数 的取值范围。
解：由题设可得

如图3所示

∴
所以
点评：先化简集合A，集合B，根据已知条件利用数轴作图，比较得解。在解此类题型时应特别注意两个端点能否取到的问题，这是很多学生容易犯错误的地方。
二、数形结合思想在解函数题中的应用
在中学阶段所涉及的初等函数：正、反比例函数、一次、二次函数、指数、对数函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的.
例3 (2006年浙江卷,理)对 ,记 函数 的最小值是　　.
解析：画出函数 和 的图象，由 的定义,可得
，
则 .
例4(2005年上海•理科)设定义域为R的函数
f(x)＝ |lg|x﹣1|| x≠10 x＝1，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有7个不同实数解的充要条件是( )
A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0 C.b＜0且c＝0 D.b≥0且c＝0
解析：f(x)＝ |lg(x﹣1)| x＞10 x＝1|lg(1﹣x)| x＜1，其图象如右图，
由图知，f(x)的图象关系x＝1对称，且f(x)≥0，
若方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0 ①有7个不同实数解，则
方程t2＋bt＋c＝0 ②有两个不等实根，且一根为正，一根为0，否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两不相等实根，则方程①有8个解，
因为f(x)＝0满足方程，则c＝0，
又∵另一个f(x)＞0，∴b＝﹣f(x)＜0，故b＜0，且c＝0，故选C.
点评：通过研究图像的交点问题，来研究方程根的个数，直观形象，避免了复杂的运算。
三、数形结合思想在解数列题中的应用
由于数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成为n的一次函数，而其前n项的和可以看成为n的二次函数.因此，许多数列问题可以借助二次函数的图象进行分析，加以解决
例5数列 是公差为负数的等差数列，且 ， ，试求数列 的前多少项的和最大，并求这个最大值。
解：∵数列 是公差为负数的等差数列，设公差为
∴ 由 得
解得：
∴ 的前n项的和
作出二次函数 的图象，（如右图）
由图象可知：
∵ ，且离13.8最近的自然数为14 ∴这个数列的前14项的和最大且最大和是
点评：把求等差数列前项和最值问题，转化为二次函数求最值问题，借助二次函数的图象进行分析求解．不仅蕴含着数形结合的思想，也体现着化归的思想．
例6已知数列 的通项 ，则数列 的前30项中，最大项和最小项分别是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：
设函数 ，作出f(x)的图象（如右图）对称中心
由图象可知函数f(x)在 上单调递减，在 上单调递减 又∵
∴数列 最大项是 ，最小项是 . 选（A）
四、数形结合思想在解三角函数题中的应用
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图形之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效思维策略.
例7(2005年湖北•理科)若0＜x＜p2，则2x与3sinx的大小关系是( )
A.2x＞3sinx B.2x＞3sinx
C.2x＝3sinx D.与x的取值有关
解析：分别作出y＝2x与y＝3sinx在(0，p2)内的图象，如图，
观察图象可知2x与3sinx的大小关系与x的取值有关，故选D.
例8(2005年上海•文、理科)函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________.
解析：f(x)＝ 3sinx 0≤x≤π﹣sinx π＜x≤2π，其图象如右图所示.
由图象可知1＜k＜3，故填1＜k＜3.
点评：利用数形结合，另辟蹊径，简洁易懂。
五、数形结合思想在平面向量题中的应用
由于平面向量具有数与形的双重身份，因此，涉及到向量的长、所成角、平行、垂直等条件，可以联想一些特殊的图形(如平行四边形、矩形、菱形、直角三角形、等边(或等腰)三角形、圆等)来处理，那么可以使向量问题变得简单化、直观化，达到快速解题的目的.
例9（05浙江高考试题）已知向量 ,对于任意 ，恒有 则（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：根据向量的减法、向量的长度的几何意义，画图，
如图2所示，则点到直线的垂直距离最短，故得到。选C。
例10、（2006年,福建卷,理)已知 =1, = , ,点C在∠AOB内，且 ，设 )，则 等于
(A) (B)3 (C) (D)
解析：设 ，如图，

于是

点评：平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现。因此，在求解平面向量问题时，若能自觉利用数形结合思想，则能简化运算，优化解法，令人赏心悦目。
六、数形结合思想在不等式中的应用
对于不等式问题的解决，通常都会联想到函数来处理，因为函数的图象能使数与式大小关系在坐标系中得到直观显现.利用数形结合思想解决不等式其关键是如何与函数联系越来.
例11解不等式|x2－3x|＞4．
解析：在直角坐标系中作出y＝|x2－3x|与y＝4图象，如右图可知，原不等式的解集是{x|x＜－1或x＞4}．
例12设函数 = ，若 ＞1，求x 的取值范围是．
解：在同一坐标系下作出函数y = 的图象和直线y = 1，它们相交于(－1，1)和(1，1)两点，由 ＞1．从图象直观看出，x 的取值范围为(－∞，－1) (1，＋∞)．
点评：利用函数图象，数形结合，可以避免解不等式的运算，简化解题过程．
七、数形结合思想在解析几何中的应用

例13（2006年湖南卷，理）若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ,则直线 的倾斜角的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析： 圆 整理为
，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3 ，
要求圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则圆心到直线 的距离应小于等于 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
例14（2006年江西） 是双曲线 的右支上一点， 分别是圆 和 上的点，则 的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解析： 等号成立时， 三点共线且点 在右支上，结合图像可知当点 、 、 时
点评：数形结合是解决数学问题 “克敌制胜”的法宝之一，复习中应深刻理解这一重要的数学思想.
从上面的分析我们可知：数形结合有利于生成解题思路，探求结论，优化解题过程，我们可以看到：在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。”因此我们要培养这种思维意识，要争取做到胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

数形结合思想是非常重要的一种数学思想，在我们现在所学的高一一元二次不等式的解法中，要用到数形结合思想，尤其是二次函数的问题，这种方法可以是问题简单化。

数形结合思想是非常重要的一种数学思想，在我们现在所学的高一一元二次不等式的解法中，要用到数形结合思想，尤其是二次函数的问题，这种方法可以是问题简单化。

数形结合思想是一种很重要的数学思想，.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。使用数学思想可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

数形结合思想的结合点主要体现在以下几个方面：
（1） 实数与数轴上点的对应关系
（2） 函数与图像的对应关系
（3） 曲线与方程的关系
（4） 以几何元素或者几何背景建立起来的概念，比如向量
（5） 所给的等式、不等式或者代数式的结构含有明显的几何意义

这些都是白说，说起容易做起难，多练，多总结才是根本。光说不做不行，很多时候要是老师在在上面讲时感觉听懂了，但是过后要让你自己去做又是另外一回事，要多做题，自己独立思考。把每一个问题想清楚，想明白，想透切

数形结合的思想其实来自 最初数学产生的现实：

人们就是从日常当中的 形象的图像 来思维的，这是直觉思维。

可是，因为图像由许多像素点，线，面等等同时组成，是个综合的整体，那么造就的问题也就是最难的综合性问题；
比起 一步步往后简单计算的算术与代数问题当然就困难，就不容易想到简单的解法。

所以大家平时不愿多接触困难的几何图形图像，心理因素是一个原因，导致了数形结合的想法还要单独重新提出来：

虽然图形可以造就困难，也能够解决最困难的问题——解铃还须系铃人：最困难的问题来自哪里，最巧妙的解决方法也就来自于哪里。

所以，要形成数形结合的能力，其实只需要平时建立起和 函数图像，几何意义联系的基本功，看到问题，就想想 用图像图形的方式 来画出 这个问题——看这个问题 是 怎么 美丽的一幅 画？

当你看到图形的时候，一下就明白了： 这个数学，不过是把平日里的普通事情，用古怪但是很精炼管用方便的数学符号固定住，说出来。

数学，根本上是 一种语言。思路素材的来源才是关键，知道了创造这个数学知识的 数学家 当初是怎么想到的，你也就能理解了，也能想到了，说不定想的更好。

数形结合基本功：
所有的基本初等函数的典型简单图像可以马上想象在脑中；
单独的函数图像的关键点：
0. 空间范围：也就是定义域，值域；
1. 升降方向——也就是所谓的“单调性”（这也是个故弄玄虚的 术语）（最好要知道升降方向的起因：函数本身定义）
2.转折点：最低点，最高点，或者 极大点，极小点；
3.周期性规律；

如果是解析几何涉及的二次或者高次曲线，相关的几何意义点：
如焦点，准线，对称轴，渐近线，中心轴等等

复合的图像的关键点：

1.相对位置：平行，相交，相离，相切，距离？
2.相交点，相交线，相交面，相交角
对应的代数参数符号名称，这样从几何到代数，代数到几何，刚开始需要时间，基础打下了（一周内巩固好）以后经常用来对付难题，或者用来达到 选拔考试速度的 心算 更高要求