高考复习知识要点1 1.1 集合的概念与运算

一 集合的概念：
(1)集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。其中每个对象就叫做集合的元素。
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法。
(4）元素与集合的关系：属于或不属于的关系，即对于一个元素a和一个集合A来说，则要么 。
(5）集合与集合的关系：包含于或不包含于的关系，即对于两个集合A、B来说,则要么 ，要么 。
注：特殊情况 ； ； 。 既可当作 的元素，也可当作 子集。
(6) 集合相等： A=B (在证明A、B两个集合相等时需证明两个方面)。
（7）集合的分类：按元素个数的多少，可分为有限集、无限集、空集。
（8）常用的数集：自然数集N，正整数集 （或 ），整数集Z，有理数集Q，实数集R。
（9）空集的定义：不含有任何元素的集合叫做空集。
（10）重要的结论：① 是任何集合的子集；② 是任何非空集合的真子集。
注：在解有关集合子集的问题时，要特别注意不要忽略：“ 是任何集合的子集”这点！
二、集合的运算：
（1）子集：对于两个集合A、B，若A的任何一个元素都是B的元素，则就说集合A包
含于集合B，或集合B包含集合A，记作： （或 ），即集合A是集合B的子集。
（2）真子集：对于两个集合A、B，若 且 ，就说集合A是B的真子集。
注：①空集是任何的子集，即 ；②任何集合都是它本身的子集，即 ；③若集合A有n个元素，则其子集有 ；其真子集有 个；非空真子集有 。
（3）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集。记作： 。
（4）全集：如果S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则这样的集合就可以看作一个全集，通常U表示全集。
（5）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集。
（9）集合运算基本性质：
① , ② , ；
③ , ； ④ ， ；
⑤ ， ； ⑥ ， ；
⑦ ， ； ⑧
（10）集合中的德摩根定律： ， .
类比其他章节知识有：
逻辑中的德摩根定律：┐(p或q) = ┐p或┐q ， ┐(p且q) = ┐p或 ┐q .
事件中的德摩根定律： ， .
(11)集合中的一个重要的结论： .
(12)容斥原理:
记有限集合A、B、C的元素的个数分别为card(A)、card(B)、card(C),则有：
①card( )=card(A)+card(B)－card( );
②card( )=card(A)+card(B)+card(C)－card( )－card( )－card( )
+card( ).
注意：（1）在解集合有关问题时，一般先要对已知的集合进行化简（含有参数的集合一般可以因式分解）。
（2）集合间子、交、并、补运算时，注意使用数形结合的思想方法（数轴、韦恩图等）。
（3）在解含有参数（字母）的集合问题时，注意使用分类讨论的思想方法。
（4）在解集合与其他知识综合的问题时，要善于将集合语言转化为其他语言来处理。

注意：（1）在解集合有关问题时，一般先要对已知的集合进行化简（含有参数的集合一般可以因式分解）。
（2）集合间子、交、并、补运算时，注意使用数形结合的思想方法（数轴、韦恩图等）。
（3）在解含有参数（字母）的集合问题时，注意使用分类讨论的思想方法。
（4）在解集合与其他知识综合的问题时，要善于将集合语言转化为其他语言来处理