高考复习知识要点3 2.1 映射、函数与反函数

1、映射：设两个集合A、B，按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这样的对应关系叫从集合A到B的映射，记作f:A→B.
①若 ,则把元素b叫做a的象，元素a叫做元素b的原象。象集 .
②映射f:A→B的对应类型可以是一对一，或多对一，但不能是一对多型。
③集合A中的元素必有象，但集合B中的元素不一定有原象（A中元素的象有且仅有一个，但B中元素的原象可能没有，也可能任意个）
2、函数：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应法则f，使对于
集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则称映射f:A→B为集合A到B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.
①其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值y的集合叫做函数的值域。
②函数是特殊的映射：即非空数集A到非空数集B上的映射。
③函数的三要素是：定义域、对应法则、值域，其中对应法则是核心。定义域和对应法则确定值域；若定义域和对应法则完全相同，则两函数是同一个函数。
④函数的表示方法主要有：解析法，列表法，图表法
⑤分段函数：若函数在其定义域内的不同子集上，对应法则不同（或用几个不同的式子来表示），则称此函数为分段函数。
⑥复合函数：如果y=f(u),u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，
则确定了一个y关于x的函数y=f[g(x)],这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u)称为外函数，u=g(x)称为内函数。
3、反函数：函数f(x)的定义域为A，值域为B。由y=f(x)求出x= ,对于
B中的每一个元素y，在A中都有唯一确定的x的值和它对应，那么 。
叫做函数y=f(x)的反函数。记作： .通常习惯记作： .
注1：只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。
注2：一般地， 不是 的反函数. 已知函数 ，
求 ，一般是先求 ，后求 ，再用代入法求 .
而函数 的反函数是
(1) 互为反函数的三要素之间的关系：对应法则互逆，定义域、值域互换。
注意：反函数的定义域不能由其解析式来确定，而应是原函数的值域。
(2) 求反函数的步骤：
①求原函数的值域，②反解 ，③x、y互换，并标明定义域。
(3) 原函数与反函数的图象关于直线y=x对称；
反之，若两个函数的图象关于直线y=x对称，则两者互为反函数。
（特殊地，函数f(x)的反函数是它本身 f(x)的图象关于直线y=x对称）。
(4) ，即点（a,b）在反函数上，则点（b,a）一定在原函数上，反之亦然。 注意：反函数的问题通常转化为原函数的问题来解决。
(5) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。
(6) 定义域上的单调函数必有反函数，而且单调性与原函数一致。
注：原函数在[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如： .
(7) 周期函数不存在反函数。
(8) 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
如果一个奇函数有反函数，那么它的反函数也为奇函数.
（奇函数不一定有反函数，如：y=sinx.）
(9) 若函数y=f(x)的图象关于直线y=x成轴对称图形，则 ；
若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，则 。
(10) 分段函数的反函数须分别求出各段的反函数，再合成。