高考复习知识要点5 2.3 函数的奇偶性、单调性
一、函数的奇偶性 :1、定义：一般地，对于函数f(x)：
若对于定义域内任意一个x,都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数；
若对于定义域内任意一个x,都有f(－x)= f(x), 那么函数f(x)就叫做偶函数。
若对任意一个x,都有f(－x)=－f(x),且f(－x)= f(x) ，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数。
若对定义域内任一个x,都有f(－x) －f(x)且f(－x) f(x), 则函数f(x)为非奇非偶函数。
（1） ★定义域在数轴上关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。
（2）、奇偶性的等价形式：对于定义域内的任意一个x,
f(－x)= f(x) f(－x)－f(x)=0 f(x)是偶函数 函数图象关于y轴对称。
f(－x)=－f(x) f(－x)+ f(x)=0 f(x)是奇函数 函数图象关于原点对称。
（3）、推广：①y=f(a+x)是偶函数 f(a+x)=f(a－x) f(x)=f(2a－x) f(x)关于x=a对称。
②f(a+x)=f(b－x) f(x)关于x= 对称。
③y=f(a+x)是奇函数 f(a－x) =－f(a+x) f(x)关于点（a,0）成中心对称。
④f(x+a)=f(x－a) f(x+2a)=f(x) f(x)是周期T=2a (a 0)的周期函数。
2、判断奇偶性的方法：（1）、定义法：①先求出函数的定义域，若函数定义域不关于原点对称，则此函数不具有奇偶性；若函数定义域关于原点对称，②再判断f(x)与f(－x)关系：若f(－x)= f(x) 则是偶函数；若f(－x)=－f(x)，则f(x)是奇函数。（判断时可用等价形式）
（2）、图象法：图象关于y轴对称 此函数是偶函数。图象关于原点对称 函数是奇函数。
注：★①函数的奇偶性是函数整体的性质。★②若奇函数的定义域中含有0，则f(0)=0.
★ ③我们通常利用函数的奇偶性来简化作图的过程。
④多项式函数 的奇偶性:
多项式函数 是奇函数 的偶次项的系数全为零.
多项式函数 是偶函数 的奇次项的系数全为零.
二、函数的单调性 1、定义：
（1）、增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时，都有f(x1)< f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。
（2）、减函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
此区间就叫做函数f(x)的单调减区间。
（3）单调性（单调区间）：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间(包括增区间和减区间)。
2、定义等价形式：设x1，x2 [a,b] ,则（1） 在 上是增函数。
其几何意义是：增函数图象上任意两点 ， 连线的斜率都大于0。
（2） 在 上是减函数。
其几何意义是：减函数图象上任意两点 ， 连线的斜率都小于0。
3、判断单调性的方法：（1）、定义法：①在给定的区间上任取x1,x2 ，且设x1<x2
② 作差（作商），变形③与0比较，下结论。
（2）、导数法：对y=f(x)求导，令 >0得增区间， <0得减区间。
（3）、复合函数法：如果y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则y= f[g(x)]是增函数；
如果y=f(u)与u=g(x)的单调性相反，则y= f[g(x)]是减函数；
4、重要的结论：（1）、两个增函数的和仍为增函数；两个减函数的和仍为减函数。
（2）、奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在对称的两个区间上单调性相反。
（3）、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。
注意：①函数的单调性与“区间”紧密相关，函数在不同的区间上可有不同的单调性。
②单调性是函数局部的性质（定义域的某个区间上），奇偶性是整体的性质（整个定义域上）。
如：虽然函数 在 上单调递减，在 上也单调递减，但我们不能说：函数 在 上单调递减。