高考复习知识要点6 2.4 函数的值域与最值

1、常见函数的值域：
(1)、一次函数y=ax+b (a 0)的值域为R。
(2)、二次函数y=ax2+bx+c (a 0),当a>0时值域为 ；
当a<0时值域为 。
（3）、指数函数 的值域为 。
（4）、对数函数 （a>0且a 1）的值域为R。
（5）、反比例函数 的值域为 。
(6)、分式函数 的值域为 。
（7）、正弦函数 ,余弦函数 的值域都是 。
（8）、正切函数 的值域为R。
2、函数值域和最值的常用求法： 配方法，反函数法，判别式法，换元法，数形结合法，均值不等式法，单调性法，导数法等。
1、 配方法：针对二次函数型 ，其关键是配成完全平方式。
2、 反函数法：针对一些分式型 ，如： ；
等。
3、 分离常数法：除了上述分式型外，还包括： 等。
4、 判别式法：针对分式型 ，尤其是分母中含有 时常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由 求得y的范围。
5、 换元法：常用代数或三角换元，把所给的函数代换成值域容易确定的另一个函数，从而求得原函数的值域。形如 的函数常用此法。在有关圆或椭圆的最值问题的时，常用到三角换元。
6、 不等式法：借助于均值不等式 求函数的值域。
特别要注意使用条件“一正二定三相等”。
7、 单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域。①常用到函数 的单调性：增区间为 ，减区间为 。②或利用复合函数单调性判断：如： 函数 在 上单调递增，在 上也单调递增。
8、 数形结合法：分析函数解析式表示的几何意义，根据图象特点确定函数的值域。如：
（1） ； （2） ； （3）
9、 导数法：高次函数常用导数法求最值。
注：
(1)、函数的值域必须重视定义域对值域的限制和影响。
(2)、函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的最值的方法，只是答题的方式有所差异。
(3)、无论用什么方法求最值，都要检查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。