数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。

基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因著和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。

今日，数学被使用在世界上不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家亦研究没有任何实际应用价值的纯数学，即使其应用常会在之后被发现。

创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。


词源


数学（mathematics；希腊语：μαθηματικά）这一词在西方源自于古希腊语的μάθημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭意且技术性的意义－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词μαθηματικός（mathēmatikós），意义为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。


历史


奇普，印加帝国时所使用的计数工具。数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μάθημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。 除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。

更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。

从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”


形成、纯数与应数及美学


牛顿(1643-1727)，微积分的发现者之一。

数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者，费曼发明了费曼路径积分，来用于推理及物理的洞察，而今日的弦理论亦生成为新的数学。一些数学只和生成它的领域有关，且应用于此领域的更多问题解答。但一般被一领域生成的数学亦可以在其他许多领域内被有用的使用，且成为数学概念的一般知识。即使是“最纯的”数学通常亦可以被用于实际的用途上的此一卓越的事实，被维格纳称为“数学在自然科学中不可想像的有效性”。

如同大多数的研究领域，科学知识的爆发导致了数学的专业化。一主要的分歧为纯数学和应用数学。在应用数学内，又被分成两大领域，并且变成了它们自身的学科－统计学和计算机科学。

许多数学家谈论数学的优美，其内在的美学及美。简单和一般化即为美的一种。另外亦包括巧妙的证明，如欧几里德对存在无限多质数的证明，及加快计算的数值方法，如快速傅里叶变换。高德菲·哈罗德·哈代在一个数学家的自白这章文章中表示其所相信的美学思维足够使其进行纯数学的研究。


符号、语言与严谨


在现代的符号中，简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即是由一简单方程所产生的。

我们现今所使用的大部份数学符号都是到了16世纪后才被发明出来了。在此之前，数学被以文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于专家而言更容易去控作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。

数学语言亦对初学者而言感到困难。如或和只这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼著初学者的，如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。

严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依著公理被推论下去。这是为了避免错误的“定理”，依著不可靠的直观，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。[8]在数学中被期许的严谨程度因著时间而不同：希腊人期许著仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计量难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。

公理在传统的思想中是“不证自明的真理”，但这种想法是有问题的。在形式上，公理只是一串符号，其只对可以由公理系统导出的公式之内容有意义。希尔伯特计划即是想将所有的数学放在坚固的公理基础上，但依据哥德尔不完备定理，每一不相矛盾的公理系统必含有一不可决定的公式；因而所有数学的最终公理化是不可能的。然而数学常常被想像成只是一些公理化的集合论，在此意义下，所有数学叙述或证明都可以写成集合论的公式。


数学作为科学


卡尔·弗里德里希·高斯称数学为“科学之母”。其拉丁原文为Regina Scientiarum，而其德语为Königin der Wissenschaften（愿意：科学的皇后），其对应于科学的单字意思为知识。而实际上，科学science在英语内的原文内也是这个意思，且无疑问地数学确实一门在此意思下的“科学”。将科学限定在自然科学则是在此之后的事。若认为科学是只指物理的世界时，则数学，至少是纯数学不会是一门科学。爱因斯坦曾这样描述著：“数学定律越和现实有关，它们越不确实；若它们越是确定的话，它们和现实越不会有关。”

许多哲学家相信数学在经验上具可否证性，且因此不是卡尔·波普尔所定义的数学。但在1930年代时，在数学逻辑上的重大进展显示数学不能归并至逻辑内，且卡尔·波普尔推断“大部份的数学定律，如物理及生物学一样，是假设演绎的：纯数学因此变得更接近其假设为猜测的自然科学，比它现在看起来更接近。”其他的思想家，如较著名的拉卡托斯，提供了一个关于数学本身的可否证性版本。

另一种观点为某些科学领域(如理论物理)是其公理为尝试著符合现实的数学。而事实上，理论物理学家齐曼即认为科学是一种公众知识且因此亦包含著数学。在任何的情况下，数学和物理科学的许多领域都有着相同的地方，尤其是在假设的逻辑推论的探索。直觉和实验在数学和科学的猜想建构上皆扮演着重要的角色。实验数学在数学中的重要种持续地在增加，且计算（computation）和模拟在科学及数学中所扮演的角色也越来越加重，减轻了数学不使用科学方法的缺点。在史蒂芬·沃尔夫勒姆2002年的书籍一种新科学中提出，计算数学应被视为其自身的一科学领域来探索。

数学家对此的态度并不一致。一些研究应用数学的数学家觉得他们是科学家，而那些研究纯数学的数学家则时常觉得他们是在一门较接近逻辑的领域内工作，且因此基本上是个哲学家。许多数学家认为称他们的工作是一种科学，是低估了其美学方面的重要性，以及其做为七大博雅教育之一的历史；另外亦有人认为若忽略其与科学之间的关联，是假装没看到数学和其在科学与工程之间的交界导致了许多在数学上的发展此一事实。这两种观点之间的差异在哲学上产生了数学是被创造(如艺术)或是被发现(如科学)的争议。大学院系划分中常见“科学和数学”系，这指出了这两个领域被看作同盟而非同一。实际上，数学家基本上会在大体上与科学家合作，但在细节上却会分开。这亦是数学哲学众多议题的其中之一个议题。

数学奖通常和其他科学的奖项分开。数学上最有名的奖为菲尔兹奖，创立于1936年，每四年颁奖一次。它通常被认为是数学的诺贝尔奖。另一个国际上主要的奖项为阿贝尔奖，创立于2003年。两者都颁奖于特定的工作主题，包括数学新领域的创新或已成熟领域中未解决问题的解答。著名的23个问题，称为希尔伯特的23个问题，于1900年由德国数学家大卫·希尔伯特所提出。这一连串的问题在数学家之间有着极高的名望，且至少有九个问题已经被解答了出来。另一新的七个重要问题，称为千禧年大奖难题，在2000年发表出来。每一个问题的解答都有着一百万美元的奖金，且只是一个问题(黎曼猜想)和希尔伯特的问题重复。


数学的各领域


早期的数学完全着重在演算实际运算的需要上，有如反映在中国算盘上的一般。如同上面所述一般，数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连著。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。


数量


数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质被研究于数论中，此一理论包括了如费马最后定理之著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生质数猜想及哥德巴赫猜想。

当数系更进一步发展时，整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数，它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：艾礼富数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。


结构


许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为抽象代数的领域。在此有一个很重要的概念，即向量，且广义化至向量空间，并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。


空间


空间的研究源自于几何－尤其是欧式几何。三角学则结合了空间及数，且包含有着名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何(其在广义相对论中扮演著核心的角色)及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，其只被电脑证明，而从来没有由人力来验证过。


变化


了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而微积分即是一发展来做为研究变化的有利工具。函数誔生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则为复数的等价领域。黎曼猜想－数学最基本的未决问题之一－即以复分析来描述。泛函分析注重在函数的(一般为无限维)空间上。泛函分析的众多应用之一为量子力学。许多的问题很自然地会导出数量与其变化率之间的关系，而这则被微分方程所研究著。在自然界中的许多现象可以被动力系统所描述；混沌理论明确化许多表现出不可预测的系统之行为，而且为决定性系统的行为。


基础与哲学


为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明的真实定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关连性。


离散数学


离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域之总称，包含有可计算理论、计算复杂性理论及信息论。可计算理论检查电脑的不同理论模型之极限，包含现知最有力的模型－图灵机。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬件的快速进步。最后，信息论专注在可以储存在特定媒体内的资料总量，且因此有压缩及熵等概念。

做为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为P/NP问题－千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的。


应用数学


应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为统计学，它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部份的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析。(许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。)数值分析研究如何有效地用电脑的方法解决大量因太大而不可能以人类的演算能力算出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。


非数学


数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行，占数术却非。

数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要但对会计师毫不重要。如果高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率，和会计学毫无关系。

数学不是物理，虽然历史上和哲学上两者关系密切。