第3课　　3.2 三角形三条边的关系
教学目的
（1）使学生掌握三角形三边的关系定理，能够利用定理及其推论进行简单的证明。
（2）使学生明确三角形按边分类的原则和结论。
教学分析
重点：使学生掌握三角形三边的关系定理，能够利用定理及其推论进行简单的证明。
难点：使学生明确三角形按边分类的原则和结论。
教学过程
一、复习
1、复习提问
师：什么样的图形叫做三角形？
生：由三条线段首尾须次连结所组成的图形叫做三角形。
师：是否具有任意长度的三条线段都能“首尾须次连结”？是否“首尾须次连结”的三条线段都能组成三角形？（板书课题。）
师：请同学们用你们课前备好的三根木（或竹）条做成一个三角形，并量出各边的长度，然后把最短的边剪去一小段，观察会出现什么现象，再剪去一小段，观察又会出现什么现象，……
[结合学生熟知的概念，提出问题，启发学生进行思考，并使之在动手、动脑的实践活动中去探索研究对象的变化规律。]
（此时学生情绪激昂，纷纷动手去探索三角形三边的关系，教师可请几位同学报告他们的实验结果。）
师：（1）你做成的三角形的三边长度各是多少？
（2）最短边剪去一小段后，是否能“首尾须次连结”？若能首尾须次连结，是否组成了三角形？
（3）再剪去一小段，情况如何？再剪去一小段，情况又如何？
……
（4）剪到什么情况时三根木条不能首尾连结成三角形？
生：略。
师：根据大家实验的结果，我们可以将三角形三边的关系总结一下。请看表格。
（出示小黑板。）

语言描述 三条线段首尾须次连结组成三角形 三条线段首尾须次连结，但未能组成三角形 三条线段未能首尾须次连结


几何图形

c b

a
（图 1）
b c
a
（图 2）
B c
a
（图 3）

数量关系 b+c>a b+c=a b+c<a
[采用表格的形式进行总结，是一个好的学习方法，有助于培养学生的能力。以图形为主线，把对于图形的语言描述和图形本身统一起来，把图形的几何特征和数量关系统一起来，是发展能力的基础，是几何教学所不能忽视的。]
师：根据上述结果，对前面提出的问题我们可以给予明确的答复：不是所有的三条线段都能首尾须次连结成三角形的。
二、新授
引入新课
师：请同学们阅读课本。课本上写道：“由三条线段首尾须次连结所组成的图形叫做三角形。”这句话包含着什么样的图形？
生：包含表格中的图1、图2这样两个图形。
师：用这句话作为三角形的定义确切吗？
[启发思考，使学生思维严密化。]
生：不确切。
师：怎么修改？
生：（回答讨论略。）
（教师对学生的不合理的说法加以指正，对合理的说法予以肯定，最后进行总结归纳。）
师：三角形的定义：由不同在同一条直线上的三条线段首尾须次连结所组成的图形叫做三角形。
（用语言精确地表述几何概念。）
师：我们知道不是任何三条线段都能首尾须次连结且组成三角形的，可见三角形的三边之间存在着某种关系，你能发现这个关系吗？
生：两边之和大于第三边。
师：在图2和图3中，也存在着两“边”之和大于第三“边”的事实，可见“两边之和大于第三边”这个性质不是三角形这个图形所独有的。因此这个性质还应该进一步强化。
（由学生讨论，自由发言。并归纳出三角形三边的关系“三角形任何两边的和大于第三边”。）
师：用观察与归纳的方法所得结论并不一定正确，需要进一步用逻辑推理的方法加以论证，正确的才能成为定理。那么怎样来证明呢？
（师生共同完成定理的证明。）
生：已知：如图4，在△ABC中，BC=a,CA=b，AB=c。
求证：b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c。
证明：BC是连结B、C两点的线段，BACJ是连结B、C两点的折线。因为，在所有连结两点的线中，线段最短，所以，
b+c＞a。
同理可证 c+a＞b，a+b＞c。
师：由这个定理可直接推出如下的定理，称为该定理的推论。
推论 三角形任何两边的差小于第三边。
同学们若对推论进一步思考一番，就不难发现两边的差，有一个谁减谁的问题，显然较长的边减去较短的边才有意义。那么应该怎样去写这个推论的已知与结论呢？
（学生思考、讨论，教师总结、归纳。）
生：已知：如图5，在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，且a≥b≥c。
求证：a-b＜c，b-c＜a，a-c＜b。
师：对！请同学们回去证明这个推论，下面我们进一步来讨论三角形边与边之间的关系，从三角形边相等或不等的角度上去考察三角形的边会出现哪几种情况？
生：有以下三种情况：（1）三条边各不相等；（2）有两条边相等；（3）三条边都相等。
（学生往往能讲出这三种情况，但不一定能表述得简明而正确，教师要注意适当的引导，并纠正学生叙述中的错误。）
师：（总结）三边两两不等的三角形叫做不等边三角形[图6（1）]。
三边中有两边相等的三角形叫做等腰三角形[图6（2）]，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三边都相等的三角形叫做等边三角形[图6（3）]。
A A A
B C B C B C
(1) (2) (3)
图6

师：三角形按边分类可以分成几类？（三类）
师：哪三类？（不等边三角形，等腰三角形，等边三角形。）
师：等边三角形中有没有两边相等？（有。）
师：能否算做等腰三角形？（能。）
师：那么等边三角形既可归入第二类等腰三角形，又可归入第三类等边三角形，这种分类是不科学的，应该加以修改。
生：分为两类：


不等边三角形；
等腰三角形 等边三角形
底腰不等的等腰三角形
师：如果坚持要分为三类，又该怎么分？
（教师适当地启发：问题的关键在于怎样区别等腰和等边。）
不等边三角形；
生：三角形 { 底边和腰不等的等腰三角形；
等边三角形。
三、练习
P15　练习：
四、小结
1、本节课学习了三角形的三边关系。
2、分类时，要不重，不漏。
五、作业
1、P18　习题6、7、8、9。
2、基础训练：同步练习。
教案说明
三角形三边关系是很简单的，就几何事实而言也是很直观的，像这样的教学内容，应该怎样处理，才能有利于培养能力，训练思维呢？
首先，应该突出整体性，即深刻提示概念（三角形的定义）和理论（三边关系定理及推论）之间的逻辑联系，提示理论和方法之间的内在关系，把概念、理论、方法组织成一个结构明确、逻辑和谐的整体。一种概念之所以得到发展，其原因在于概念的内涵中蕴含着矛盾，三角形定义中的矛盾表现在不是任何三条线段都能首尾须次连结而组成三角形的，这就预示着三角形三边间应存在着某种关系，一旦和线段长公理相综合，这个关系就会明显地展现出来。另外，有了定理和推论，要想把理论转化为解题方法，还要注意到定理的等价命题及定理和推论的综合应用。
其次，在教学中应提示解决问题4 思维过程。思维过程和思维结果的辩证统一是“教”和“学”的双方都应遵循遥基本原则。数学教学的过程应该是思维过程不断展开的过程，思维过程展开了，就会创造出许多有利于培养能力、训练思维的学习情境。本课中，我们把思维的起点定在三角形概念上，随着矛盾的提示，思维的深入，力争达到内化，而这个三角形概念上，随着矛盾的提示，思维的深入，力争达到内化，而这个内化是在整体性、逻辑必然性的基础上完成的。
再次，应挖掘教材中有利于能力培养，思维训练的各种因素，以指导教学方法的设计。本课中，课本所给出的三角形定义尚不严密，定理中的“任何”两字大有文章可做，定理和推论的获得没有完整的证明格式，以及如何对三角形进行合理地分类等，都是培养能力和训练思维的用武之地。为此，在本课的教学过程中，考虑到要让学生在动手、动脑的基础上，去锻炼他们的归纳、概括能力，同时提高语言表述能力，并注重加强思维的严密性的训练和几何证明规范化的训练。