12.1 用公式解一元二次方程（一）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．
2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．
三、教学步骤
（一）明确目标
1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．
2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．
板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．
（二）整体感知
通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？
（3）什么叫做分式方程？
问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．
2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．
3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
（6）-x2＝0
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．
一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．
5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？
教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．
6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．
练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．
8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．
教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．
（四）总结、扩展
引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？
1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．
2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．
3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．
四、布置作业
1．教材P．6 练习2．
2．思考题：
1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”
2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．
五、板书设计
第十二章 一元二次方程 12．1用公式解一元二次方程
1．整式方程：…… 4．例1：……
2．一元二次方程……： ……
3．一元二次方程的一般形式：
…… 5．练习：……
…… ……
六、课后习题参考答案
教材P．6A2．

教材P．6B1、2．
1．（1）二次项系数：ab 一次项系数：c 常数项：d．
（2）二次项系数： m-n 一次项系数：0 常数项：m＋n．
2．一般形式：（m＋n）x2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次项系数：m＋n，一次项系数：m－n，常数项：p－q．
思考题
（1）不能．如x3＋2x2－4x＝5．
（2）一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3，这样的整式方程叫做一元三次方程．一般形式：ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）．
一元四次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是4，这样的整式方程叫做一元四次方程．一般形式：ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0（a≠0）．

12.1 用公式解一元二次方程（二）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．
（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．
（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
二、教学重点、难点
1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．
2．教学难点：（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．
三、教学步骤
（一）明确目标
在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．
（二）整体感知
通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？
（2）平方根的概念及开平方运算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移项，得x2＝4．
两边开平方，得x＝±2．
∴ x1＝2，x2＝-2．
分析 x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．
练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．
3．例1 解方程9x2-16＝0．
解：移项，得：9x2=16，

此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题

负根．
练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
例2 解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，
两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．
练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．
例3 解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移项，得：（2-x）2＝81．
两边开平方，得：2-x=±9
∴ 2-x＝9或2-x＝-9．
∴ x1=-7，x2＝11．
解法（二）
∴ （2-x）2＝（x-2）2，
∴ 原方程可变形，得（x-2）2=81．
两边开平方，得x-2＝±9．
∴ x-2＝9或 x-2＝-9．
∴ x1＝11，x2＝-7．
比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．
练习：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．
那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．
（四）总结、扩展
引导学生进行本节课的小节．
1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．
2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．
3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．
四、布置作业
1．教材P．15中A1、2、
2、P10 练习 1、2；
P．16中B1、（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1 用公式解一元二次方程（二）
引例：解方程x2-4＝0 例1 解方程9x2-16=0
解：…… ……
…… 例2 解方程（x＋3）2＝2
此种解一元二次方程的方法称为直接开平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，
c为常数，a≠0，c≥0）可用直接开平方法

六、部分习题参考答案
教材P．15A1

以上（5）改为（3）（6）改为（4），去掉（7）（8）
教材P．15A2

教材P．16B1



12、1 用公式解一元二次方程（三）

一、素质教育目标
（一）知识教学点： 1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．
（二）能力训练点：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力．
（三）德育渗透点：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：用配方法解一元二次方程．
2．教学难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式．
3．教学疑点：配方法可以解决许多代数问题，例如：因式分解，将一个代数式配成完全平方式等等，本节课传授的是用配方法解一元二次方程．
三、教学步骤
（一）明确目标
学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我们本节课所要研究的问题．将x2＋2x＝3转化为（ax＋b）2＝c型是我们本节课一个重要的突破点，攻克此难关，方程的求解问题便迎刃而解了．
（二）整体感知
本节课在直接开平方法的基础上引进了配方法，实现由未知向已知的转化．直接开平方法在本节课中起到了一个承上启下的作用．它为配方法的引入做了很好的铺垫．如果说平方根的概念为一元二次方程解法的引进立下了汗马功劳，那么可以说直接开平方法为其他方法的引进作了坚实的铺垫．
配方法是初中代数中解决某些代数问题的一个常用方法，方法的实质是将代数式x2＋ax配成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
（2）填空：
1）x2-2x+（ ）＝[x＋（ ）]2
2）x2＋6x＋（ ）＝[x-（ ）]2

2．引例：将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？
解：移项，得x2－2x＝3．
配方，得x2-2x＋12＝3＋12．
∴ （x-1）2＝4．
∴ m＝-1，n＝4．
对于x2+ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方即可完成上述转化工作．
练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式

上述练习，深化配方的过程，为配方法的引入作铺垫．
3．例1 解方程x2－4x－2＝0．
解：移项，得x2－4x＝2 ……第一步
配方，得x2－4x＋（-2）2＝2＋（-2）2 ……第二步
∴ （x－2）2＝6．

教师引导、板演，学生回答．分析解方程的步骤，第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边．第二步是配方，方程的两边同时加上二次项系数一半的平方，进行这一步的理论依据是等式的基本性质和完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，第三步是用直接开平方法求解．此时，向学生点明：这种解一元二次方程的方法称为配方法．
学生练习、板演、评价，深刻体会配方法的步骤，通过配方，方程进行了形式上的转化，并且体会为什么先学直接开平方法，它是配方法的基础，要注意体会推理的严谨性、步骤的完整性，刚开始配方的过程要细，不要跳步，避免出错．
例2 解方程：2x2＋3＝5x．
解：移项，得：2x2-5x＋3＝0，


例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步骤是：
第一步：化二次项系数为1；
第二步：移项；
第三步：配方；
第四步：用直接开平方法求解．
练习：1．P．12中2（3）（4）．
2．解方程（1）6x－x2＝63 （2）9x2－6x＋1＝0．
学生练习板演，师生共同评价．对于练习2（2）解方程9x2＋6x＋1＝0．


解法（二）原方程可整理为（3x－1）2＝0．
∴ 3x－1＝0．

比较上面两种方法，让学生体会方法（一）是通法，有时用起来麻烦．方法（二）是据方程的特点所采用的特殊的方法，较方法（一）简捷，明快．可告诫学生学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养学生灵活运用的能力．
通过以上练习，让学生能悟出配方法可以解任意结构特点的一元二次方程，它是解一元二次方程的通法．
（四）总结、扩展
引导学生从所学知识、方法上进行小结．
1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：
（1）化二次项系数为1．
（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．
（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法求解．
配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法．
2．配方法的理论依据是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接开平方法为基础．
3．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想方法，增强学生的创新意识．
四、布置作业
教材P．15中3．
五、板书设计
12．1用公式解一元二次方程（三）
1．配方法的理论依据 例1 解方程x2-4x-2＝0
a2±2ab＋b2＝（a±b）2 解：……
2．配方法的步骤 ……
（1）…… 例2 解方程2x2-3＝5x
（2）…… 解：……
（3）…… ……
（4）…… 练习1……
练习2……
六、作业参考答案
教材P．15中3．
（1）x1=-2，x2＝-4
（2）x1＝-6，x2＝2
（3）x1＝4，x2＝6
（4）x1＝3，x2＝5
（5）x1＝-11，x2＝9

12．1 用公式解一元二次方程的解法（四）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
（二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．
（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点
1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
3．关键：1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根

的简单延续．
三、教学步骤
（一）明确目标
通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．
（二）整体感知
由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．
求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．
通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问：用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．
2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．
解：移项，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．

教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．
3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，


∵ a≠0， ∴4a2＞0 当b2－4ac≥0时．

①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．
从上面的结论可以发现：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．

的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
4．例1 解方程x2－3x＋2＝0
解：∵ a＝1，b＝-3，c＝2．
又∵ b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，

∴ x1=2，x2=1．
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．


例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝

由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．
练习：P．16中2（8）．
（四）总结、扩展
引导学生从以下几个方面总结：

≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．
2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如
∵ a≠0，∴ 4a2＞0．当 b2－4ac≥0时，……
（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．
（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．
（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．
四、布置作业
教材P．14练习1
教材P．15习题12、1 ：4．
参考题：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1 一元二次方程的解法（四）
1．求根公式： 例：用配方法推导出一元 例1……

二次方程ax2+bx+c=0 ……
(a≠0)的根． 练习……
2．公式法及其步骤解： 解：…… ……
（1） ……
（2） ……
（3）
（4）

六、作业参考答案
教材P．15中4．略
2．用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

12．1 用公式解一元二次方程（五）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．熟练地运用公式法解一元二次方程，掌握近似值的求法．
2．能用公式解关于字母系数的一元二次方程．
（二）能力训练点：培养学生快速准确的计算能力．
（三）德育渗透点：
1．向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法．
2．渗透分类的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：在解关于字母系数的一元二次方程中注意判断b2－4ac的正负．
3．教学疑点：对于首项系数含有字母的方程的解要注意分类讨论．
三、教学步骤
（一）明确目标
公式法是解一元二次方程的通法，利用公式法不仅可以求得方程中x的准确值，也可以求得近似值，不仅可以解关于数字系数的一元二次方程，还可以求解关于字母系数的一元二次方程．
（二）整体感知
这节内容是上节内容的继续，继续利用一元二次方程的求根公式求一元二次方程的解．但在原来的基础上有所深化，会进行近似值的计算，对字母系数的一元二次方程如何用公式法求解．由此向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法，通过字母系数一元二次方程的求解，渗透分类的思想，为方程根的存在情况的讨论等打下坚实的基础．
（三）重点，难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般形式及求根公式．
一般式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

（2）说出下列方程中的a、b、c的值．
①x2-6＝9x；
②3x2＋4x＝7；
③x2＝10x-24；



通过以上练习，为本节课顺利完成任务奠定基础．
2．例1 解方程x2＋x-1＝0（精确到0.01）．
解：∵ a＝1，b＝1，c＝-1，

对于近似值的求法，一是注意要求，要求中有精确0.01，有保留三位有效数字，有精确到小数点第三位．二是在运算过程中精确的位数要比要求的多一位．三是注意有近似值要求就按要求求近似值，无近似值要求求准确值．练习：用公式法解方程x2＋3x-5＝0（精确到0.01）
学生板演、评价、练习．深刻体会求近拟值的方法和步骤．例2 解关于x的方程x2-m（3x-2m＋n）-n2＝0．
分析：解关于字母系数的方程时，一定要把字母看成已知数．解：展开，整理，得
x2-3mx＋2m2-nm-n2＝0．
∵ a＝1，b＝-3m，c＝2m2-mn-n2，
又∵ b2-4ac＝（-3m）2-4×1×（2m2-mn-n2），
＝（m＋2n）2≥0

∴ x1＝2m+n，x2＝m-n．
分析过程，b2-4ac＝（m＋2n）2≥0，此式中的m，n取任何实

详细变化过程是：

练习：1．解关于x的方程2x2-mx-n2＝0．
解：∵ a=2，b=-m，c=-n2
∵ b2-4ac＝（-m）2-4×2（-n2）
＝m2+8n2≥0，

学生板书、练习、评价，体会过程及步骤的安排．
练习：2．解：于x的方程abx2-（a4＋b4）x＋a3b3＝0（ab≠0）．
解：∵ A＝ab，B＝-a4-b4，C＝a3b3
∴ B2-4AC＝（-a4-b4）2-4ab•a3b3
＝（a4＋b4）2-4a4b4
＝（a4-b4）2≥0

学生练习、板书、评价，注意（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2的变化过程．注意ab≠0的条件．
练习3 解关于x的方程（m＋n）x2＋（4m-2n）x＋n-5m＝0．
分析：此方程的字母没有任何限制，则m，n为任何实数．所以此方程不一定是一元二次方程，因此需分m＋n＝0和m＋n≠0两种情况进行讨论．
解：（1）当m＋n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可变为
（4m＋2m）x-m-5m＝0．
∵ m≠0解得x＝1，
（2）当m＋n≠0时，
∵ a＝m＋n，b＝4m-2n，c＝n-5m，
∴ b2-4ac=（4m-2n）2-4（m＋n）（n-5m）＝36m2≥0．

通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想．
（四）总结、扩展
1．用公式法解一元二次方程，要先确定a、b、c的值，再确定b2－4ac的符号．
2．求近似值时，要注意精确到多少位？计算过程中要比运算结果精确的位数多1位．
3．如果含有字母系数的一元二次方程，首先要注意首项系数为不为零，其次如何确定b2－4ac的符号．
四、布置作业
教材P．14练习2．
教材P．15中A ：5、6、7、8。
五、板书设计
12．1 一元二次方程的解法（五）
一元二次方程的一般形式及求根公式 例1．…… 例2．……
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) …… ……

练习．……
六、作业参考答案
教材P．14
教材P．15A：5（1）x1≈4.54， x2≈-1.54
（2）x1≈3.70 x2≈0.54
6、（1）x1＝3 ，x2＝-3 ；
（2）x1＝7，x2＝3；

（4）x1＝-29，x2＝21；




教材P．17B4
解：由题得3x2＋6x-8＝2x2-1
整理得x2+6x-7＝0
又∵ a=1，b=6，c=-7

∴ 当x＝1或x＝-7时，3x2＋6x-8的值和2x2-1的值相等．