一元二次方程的根与系数的关系（一）


一、素质教育目标
（一）知识教学点：
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
（二）能力训练点：
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
（三）德育渗透点：
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：根与系数的关系及其推导．
2．教学难点：正确理解根与系数的关系．
3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
三、教学步骤
（一）明确目标
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．
（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．



以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1

我们就可把它写成
x2+px+q=0．

结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1•x2=q．
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．
练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项

（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．


此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．
方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，
∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．
∴ 原方程可变为5x2-7x-6=0


学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．
练习：教材P．34中2．
学习笔答、板书，评价，体会．
（四）总结、扩展
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
四、布置作业
1．教材P．33中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系．
五、板书设计
12．4 一元二次方程根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数关系 关系的推导 应用（1）验根
（1）…… …… （2）已知一根，
求另一根
（2）…… ……
六、作业参考答案
教材P．35中A1
解：设方程的另一根为x2


A2
解：设方程的另一根为x2




一元二次方程的根与系数的关系（二）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2．灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
（二）能力训练点：
提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
（三）德育渗透点：
知识来源于实际，最后应用于实际．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．
2．教学难点：某些代数式的变形．
3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．
三、教学步骤
（一）明确目标
一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用，本节课将学习如下两个问题中的应用：（1）不解方程，求某些代数式的值；（2）已知两个数，求作以这两个数为根的新的一元二次方程．
（二）整体感知
本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．
2．本节课继续学习它的应用
（1）不解方程，求某些代数式的值．
例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．
解： 设方程的两个根是x1，x2，那么

（1）∵ （x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．

教师板书，引导，学生回答，体会．
启发学生，总结以下两点：
1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
2．格式、步骤要求规范
第一步：求出x1+x2，x1x2的值．
第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．
第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．
练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；

（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．
学生板书、笔答、评价．
（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，
∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．
∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

解：所求方程是

教师引导、板书，学生回答．
练习：教材P.34中4．
学生笔答、板书、评价．
例 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：此题可以通过列方程求得．
但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．
解这个方程，得

教师板书，学生回答，评价，体会．
以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．
练习：教材P.34中5．
学生板书、笔答、体会、评价，教师引导．
通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．
（四）总结、扩展
1．本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……
2．通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力．
四、布置作业
教材P.33中A 3、4；B 1．
教材P.34中B 2（学有余力的同学做）．
五、板书设计
12.4 一元二次方程根与系数关系（二）
应用1．验根 例：…… 例：……
2．已知一根，求另一根． 解：…… 解：……
3．求某些代数式值．
4．求作一个新方程．
六、作业参考答案
教材P.35中 A2


A3．


∴ x1+x2=-1，x1x2=-1
∴ 所求的方程是x2+x-1=0

（1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2



B2．解：设原方程的两根为x1，x2，则新方程的两根为x12，x22．
∵ x1+x2=2，x1x2=-1
又 ∵ x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4+2=6
x12•x22=1
∴ 所求的方程是y2-6y+1=0