二次三项式的因式分解（用公式法）（一）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．
2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．
（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．
（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．
2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．
3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．
三、教学步骤
（一）明确目标
二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．
（二）整体感知
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．
公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．
①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．
由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．
2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．
①x2-2x+1=0；
解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．
∴ x1=x2=1，
②x2-5x+6=0；
解原方程可变为
（x-2）（x-3）=0
∴ x1=2，x2=3．
③6x2+x-2=0
解：原方程可变为
（2x-1）（3x+2）=0．

观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．
②推导出公式


=a（x-x1）（x-x2）．
这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．
③公式的应用
例1 把4x2+8x-1分解因式
解：∵ 方程4x2+8x-1=0的根是


教师板书，学生回答．
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．
练习：将下列各式在实数范围因式分解．
（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3
学生板书、笔答，评价．
解2 用两种方程把4x2-5分解因式．

方法二，解：∵ 4x2-5=0，

方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．
练习：将下列各式因式分解．
（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；
（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．

（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．
（四）总结与扩展
（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．
（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．
（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．
四、布置作业
教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．
五、板书设计
12.5 二次三项式的因式分解（一）
结论：在分解二次三项式 例1．把4x2+8x-1分解因式
ax2+bx+c的因式时 解：………
可先用公式求出方程： ……
ax2+bx+c=0的两个根
x1，x2，然后写成 练习：………
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）
六、作业参考答案
教材 P.38中A1
（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；
（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；
（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；
（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；
A2

二次三项式的因式分解（用公式法）（二）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：
熟练地运用公式法在实数范围内将二次三项式因式分解．
（二）能力训练点：
通过本节课的教学，提高学生研究问题、解决问题的能力．
（三）德育渗透点：
进一步对学生进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点、难点
1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．
2．教学难点：一元二次方程的根和二次三项因式分解的关系．
三、教学步骤
（一）明确目标
对于含有一个字母在实数范围内可分解的二次三项式，学生利用十字相乘法或用公式法可以解决．对于含有两个字母的二次三项式如何用公式法进行因式分解是我们本节课研究的目标．
（二）整体感知
本节课是上节课的继续和深化，上节课主要练习了利用公式法将含有一个字母的二次三项式因式分解，这节课研究含有两个字母的二次三项式的因式分解，实际上可设二次三项式为零，把一个字母看成是未知数，其它看成已知数，求出方程的两个根，然后利用公式法将问题解决．本节课较上节课有一定的难度．
通过本节课，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．上节课是本节课的基础，本节课是上节课的加深和巩固．
（三）重点、难点的学习和目标完成的过程
1．复习提问：
（1）如果x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c如何因式分解？
（2）将下列各式因式分解？
①4x2+8x-1；②6x2-9x-21．
2．例1 把2x2-8xy+5y2分解因式．
解：∵ 关于x的方程2x2-8xy+5y2=0的根是

教师引导、板书，学生回答．
注意以下两个问题：
（1）把x看成未知数，其它看成已知数．
（2）结果不能漏掉字母y．
练习：在实数范围内分解下列各式．
（1）6x2-11xy-7y；（2）3x2+4xy-y2．
学生板书、笔答，评价．
注意（1）可有两种方法，学生体会应选用较简单的方法．
例2 把（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）分解因式．
分析：此题有两种方法，
方法（一）∵ 关于x的方程
（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）=0

∴ （m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）

=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]
=（mx-x-m）（mx-m-1）．
方法（二）用十字相乘法．
（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=[（m-1）x-m][mx-（m+1）]
=（mx-x-m）（mx-m-1）．
方法（二）比方法（一）简单．
由此可以得出：遇见二次三项式的因式分解：
（1）首先考虑能否提取公因式．
（2）能否运用十字相乘法．
（3）最后考虑用公式法．
以上教师引导，学生板书、笔答，学生总结结论．
练习：把下列各式因式分解：
（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；
（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3．
解：（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=m（m-1）x2-（2m2-1）x+m（m+1）
=[mx-（m+1）][（m-1）x-m]
=（mx-m-1）[（m-1）x-m）]．（因式分解法）
（2）（x2+x）2-2x（x+1）-3…第一步
=（x2+x-3）（x2+x+1）…第二步

（1）题用十字相乘法较简单．
（2）题第一步到第二步用十字相乘法，由第二步到第三步用公式法．注意以下几点：
（1）因式分解一定进行到底．
（2）当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解．当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可分解．
（四）总结与扩展
启发引导、小结本节课内容．
1．遇见二次三项式因式分解．
（1）首先考虑能否提取公因式．
（2）其次考虑能否选用十字相乘法．
（3）最后考虑公式法．
2．通过本节课的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．注意以下几点；
（1）在进行2x2-8xy+5y2分解因式时，千万不要漏掉字母y．
（2）因式分解一定进行到不能再分解为止．
（3）对二次三项式ax2+bx+c的因式分解，当b2-4ac≥0时，它在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．
四、布置作业
1．教材P.38中B 1 . 2（8）．
2．把下列各式分解因式：
（1）（m2-m）x2-（2m2-1）x+m（m+1）；
（2）（x2+x）2-3x（x+1）-4．
五、板书设计
12.6 二次三项式的因式分解（二）
结论： 例1．把2x2-8xy+5y2因式分解．
如果x1，x2为一元二次方程 解：略
ax2+bx+c=0的两个根，
则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）
六、作业参考答案
1．教材P.39中A2

2．教材P.39中B
1．
（1）（3x+5）（2x-3）；
（2）（7x-6y）（6x-7y）；

（4）（2x-9y）（7x-2y）
3．
（1）[mx-（m+1）][（m-1）x-m]
（2）解：（x2+x）2-3x（x+1）-4
=（x2+x-4）（x2+x+1）