12．7 可化为一元次方程的分式方程（一）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：本节课使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根．
（二）能力训练点：1．使学生掌握运用去分母或换元的方法解可化为一元二次方程的分式方程；使学生理解转化的数学基本思想；2．使学生能够利用最简公分母进行验根．
（三）德育渗透点：结合对题目的分析与解答，对学生进行辩证唯物主义思想的教育．
二、教学重点、难点
1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．学生容易忽视对分式方程的解进行检验．通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．
三、教学步骤
（一）明确目标
在初二我们已经学过分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道了解可化为一元一次方程的分式方程的解题步骤以及验根的目的，了解了转化的思想方法的基本运用．今天，我们将在此基础上，来学习可化为一元二次方程的分式方程的解法．“12.7节”是在学生已经掌握的同类型的方程的解法，直接点出可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法相类同，及产生增根的原因，以激发学生归纳总结的欲望，使学生理解类比方法在数学解题中的重要性，使学生进一步加深对“转化”这一基本数学思想的理解，抓住学生的注意力，同时可以激起学生探索知识的欲望．
（二）整体感知
为了使学生能进一步加深对“类比”、“转化”的理解，可以通过回忆复习可化为一元一次方程的分式方程的解法，探求解可化为一元二次方程的分式方程的解法，同时通过对产生增根的分析，来达到学生对“类比”的方法及“转化”的基本数学思想在数学学习中的重要性的理解，从而调动学生能积极主动地参与到教学活动中去．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
复习提问：
1．什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分化方程的方法与步骤是什么？
2．解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？
3．产生增根的原因是什么？
通过1，2，3的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程及其解法，类比地提出可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法相同．
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量．
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力．

分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按x的降幂排列，所以将方程的分母作一转化，均为按字母x进行降幂排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．
解：原方程就是……
方程两边都乘以（x+2）（x-2），约去分母，得
（x-2）+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）．
整理后，得
x2-3x+2=0．
解这个方程，得
x1=1，x2=2．
检验：把x=1代入（x+2）（x-2），它不等于0，所以x=1是原方程的根，把x=2代入（x+2）（x-2）它等于0，所以x=2是增根．
∴ 原方程的根是x=1．
师生共同解决例1后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．
例2、解方程
分析：此题也可象前面例1一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便
通过求出y后，再求原方程的未知数的值．
两边都乘以y，得
2y2-7y+6=0．
解得
x2-2x-1=0．

2x2+3x-1=0，
∴ 原方程的根是

此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验．
巩固练习：教材P.49中1（2）、2引导学生笔答．
四、总结、扩展
对于小结，教师应引导学生做出．
本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行．
本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法．
此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握．
五、布置作业
1．教材P.50中 A1、2、3．
2．教材P.51中B1、2．
六、板书设计
12.7 可化为一元二次方程的分式方程（一）
引例：（复习3）…… 例1…… 例2…… 例3……
…… …… …… ……
…… …… …… ……

12．7 可化为一元二次方程的分式方程（二）

素质教育目标
（一）知识教学点：本节课使学生在学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之一．——行程问题，使学生正确理解行程问题的有关概念和规律，会列分式方程解有关行程问题的应用题．
（二）能力训练点：本节课通过列分式方程解有关行程问题的应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求学生能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．
（三）德育渗透点：结合分式方程应用题的分析与解答，向学生灌输辩证唯物主义的观点，使学生懂得：理论知识来源于实践，反过来去更好地指导实践．
教学重点、难点
1．教学重点：列分式方程解有关行程问题．
2．教学难点：如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住时间、路程、速度三者之间的关系，通过三者之间的关系的分析设出未知数和列出方程．
3．关键：对于列分式方程解应用题，学生往往考虑到所解出的答案是否和题意相吻合，而认为可以不需要检验．通过本节的学习，使学生清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合．
教学过程：
（一）明确目标
在上一节课，我们已经学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，我们知道，我们现在所学习的理论是先人通过千百年的实践总结，概括出来的，我们学习理论是为了更好地解决实践当中所出现的问题．这一节课所学的内容就是运用上节课所学过的分式方程解法的知识去解决实际问题，关于本节内容，是学生在上节课所学过的分式方程的解法的基础上而学习的，所以点出由实践——理论——实践这一观点，能更加激发学生的求知欲，使得学生能充分地认识到学习理论知识和理论知识的运用同等重要，从而抓住学生的注意力，能使得学生充分地参与到教学活动中去．
（二）整体感知
为了使学生能充分地利用所学过的理论知识来解决实际问题，首先应对上一节课所学过的分式方程的解法进行复习，同时让学生回忆行程问题中的三个量——速度、路程、时间三者之间的关系，从而将学生的思路调动到本节课的内容中来，这样对于面向全体学生，大面积地提高教学质量大有益处．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
复习提问
1．解分式方程的基本思路是什么？解分式方程常用的两种方法是什么？
2．在匀速运动过程中，路程s、速度v、时间t三者之间的关系是什么？
3．以前所学过的列方程解应用题的步骤有哪些？
通过对问题1的复习，使学生对前一节内容得到巩固，对问题2的复习给学生设定一种悬念，以抓住学生的注意力，对问题3的复习，使学生对于问题2的悬念有了一种初步的判断，以便于教师点题——本节课所学的内容．
通过对前面三个复习问题的设计，学生能充分的认识到本节所要学习的内容，再加上教师的适时点题，完全地将学生的注意力全部地集中到教师身上，充分发挥教师的指导作用，并调动起学生的积极性，发挥学生的主体作用．
当教师将本节的主题点明以后，不失时机的打出题目，此时学生的精力将被调到最佳状态．
例1 甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？
分析：（1）题目中已表明此题是行程问题，实质上是速度、路程、时间三者关系在题中的隐含．
（2）题目中所隐含的等量关系是：甲从张庄到李庄的时间比乙从

（3）如果设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，

解： 设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，根据题意，得

去分母，整理，得
x2+x-30=0．
解这个方程，得
x1=5，x2=-6．
经检验，x1=5，x2=-6都是原方程的根． 但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6．
答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．
在本题中，采取的方法应为教师引导学生分析，列出方程以至于解出方程．在分析过程中和解题过程中，教师应强调单位的统一以及检验的位置．
例2 一小艇在江面上顺流航行63千米到目的地，然后逆流回航到出发地，航行时间共5小时20分．已知水流速度为每小时3千米，小艇在静水中的速度是多少？小艇顺流航行时间和逆流回航时间各是多少？
分析：
（1）顺水速度=在静水中速度+水速
逆水速度=在静水中速度-水速
（2）题目中的相等关系：顺流航行时间+逆流航行时间=5小时20分．
（3）设小艇在静水中速度为x千米／小时，则顺流航行速度为x+3（千米／时），逆流航行速度为x-3（千米／时），小艇顺流航行63千

解：设小艇在静水中的航行速度为x千米／时，则顺流航行的速度为（x+3）千米／时，逆流航行的速度为（x-3）千米／时，根据题意，得

去分母，整理得
8x2-189x-72=0．

∴ x=24．

答：小艇在静水中的速度为24千米／时，顺流航行2小时20分，逆流回航3小时．
本题处理的方式应与上题相同．
巩固练习：
教材P.49中6题．
（四）总结、扩展
对于本节小结，应该是学生在教师的指导下进行的．
本节内容的小结应从两个方面进行总结：
（1）本节课的内容是什么？
（2）关系到本节课内容的因素是什么？
本节课，我们在学习了分式方程基础上，来解决实际问题的应用之一——行程问题，而解行程问题的关键是将路程、时间、速度三者之间的关系运用到隐含在题目中的相等关系中去，以便列出方程而解决问题．
对于例2，教师应引导学生对同一类问题——在空中飞行问题进行思考和总结．
通过本节课内容的学习，可以充分地发挥教师的主导地位和学生的主体地位，从而可以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
（五）布置作业
教材P.50中 A4、5．
板书设计
分式方程的应用
——行程问题
例1………… 例2…………
………… …………
………… …………
作业参考答案
教材P.50中A4
解：设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，则

去分母，整理得
x2+12x-4320=0
解得x1=60，x2=-72．
经检验x1=60，x2=-72都是原方程的根，但速度不能为负，x=-72不合题意，舍去．
∴ x=60，x+12=72．
答：略．
教材P.50中A5
解： 55件

12.7 可化为一元二次方程的分式方程（三）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：本节课是在学生学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之二——解有关工作问题的应用题．
（二）能力训练点：本节课的内容是列分式方程解有关工作问题的应用题，其解题思路、方法和解题步骤与前面学过的完全相同．本节内容通过对实际问题的剖析，可以进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力．
（三）德育渗透点：结合分式方程的应用题，向学生灌输实践——理论——实践这一观点，使学生进一步认识理论知识来源于实践，反过来去更好地指导实践这一论点．
二、教学重点、难点
1．教学重点：列分式方程解决工作问题．
2．教学难点：在复杂的数量关系中，通过对题目的分析与综合，找出相等关系．为了解决教学难点，本节课应抓住工作量、工作时间和工作效率三者之间的关系，根据对这三者之间的关系的分析找出已知量和未知量，列出方程．在工作问题中，往往将工作量设为“1”，这一设定，学生易存在一种模糊的认识，其主要原因是对于有关“单位量”缺乏一个正确的认识，通过教师对“一个单位”的讲解，学生可基本消除这一疑虑．
三、教学步骤
（一）明确目标
上一节课我们学习了分式方程的应用之一——行程问题，这一节课我们将进一步学习分式方程的应用之二——工作问题．关于工作问题，是我们所学过的理论更加直接地运用于是实践，解决实际方面的问题．对于本节课的内容，由于上一节课学生已经学习了分式方程的应用之一——行程问题，所以直接点出本节课所要学习的内容，能将学生的思路一下子拉回到本节的内容上，从而能激发出学生的求知欲，吸引学生的注意力，使学生完全地参与到用理论知识解决实际问题中去．
（二）整体感知
为了使学生比较自如地解决本节课的内容，首先应对上一节课所解决的实际问题进行简单的复习，使学生在解决有关行程问题时，抓住的关键有了进一步的认识，然后让学生回忆工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系，这样立即就可以将学生的思路从上节课的行程问题引到本节课的工作问题中来，以便更好发挥学生的主体作用．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
复习提问
1．解决行程问题的关键是什么？应抓住哪些量的关系？
2．列分式方程解应用题，应如何看待所求出的解？
3．在工作问题中，工作量、工作时间、工作效率三者间的关系是什么？
4．（1）要挖960米长的渠道，如果每天挖x米，则几天可以挖完？
（2）对于某项工作，甲需8天完成，乙需6天完成，甲、乙合作两天，可完成多少工作量？
对于问题1的设计，主要目的是为了学生对上节课所学过的知识进一步巩固；问题2的设计为了纠正学生在解分式方程应用所经常出现的错误①检验的位置，②和实际相结合．问题3的设计为了设定一个悬念，以便学生的注意力更加集中，问题4的设计目的有两个，其一是解决学生悬念，另一方面使学生对工作问题有一个初步的了解；通过本节的例题分解，减小题目的难度．
通过对上面问题的设计，学生在课堂上可以比较轻松地完成教学任务，分散难点，抓住重点．
新授
例1 某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务．原计划每天挖多少米？
分析：（1）本题中给出了三个量，分别是工作量，工作时间，工
（2）寻找题目中的相等关系，本题的相等关系比较明显
实际工作时间=原计划工作时间-4．（或其它表示相等关系式的等式）
（3）如果设原计划每天挖x米，那么实际开工后每天挖（x+20）

解： 设原计划每天挖x米，那么开工后每天挖（x+20）米，根据题意，得

去分母，整理得
x2+20x-4800=0．
解得：
x1=60，x2=-80．
经检验x1=60，x2=-80都是原方程的根．由于负数不合题意，舍去
∴ x=60．
答：原计划每天挖60米．
例2 一个水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池少用10小时；两管同时开放，12小时可把水池注满．若单独开放一个水管，各需多少小时能把水池注满？
分析：此题也是工作问题的应用题，对于水池中的水的多少，没有一个明确的量，在这种情况下，往往设总量为1．如果设单独开放乙管注满水池需x小时，那么单独开放甲管注满水池需（x-10）小时，单开

题的相等关系是：甲管注水12小时的水量+乙管注水12小时的水量=1．
解： 设单独开放乙管注满水池需x小时，那么单独开放甲管注满水池需（x-10）小时，根据题意，得

去分母，整理得
x2-34x+120=0．
解得
x1=30，x2=4．
经检验 x1=30， x2=4都是原方程的根．
当x=30时，x-10=20，
当x=4时，x-10=-6不合题意，舍去
∴ x=30，x-10=20．
答：单独开放一个水管注满水池，甲管需要20小时，乙管需要30小时．
这两个例题所采用的方法是：教师引导学生进行分析，找出相等关系列出方程，剩下的工作应由学生自行完成．在例2中，如果将问题改为只求单独开放乙管需多少时间，学生解出的方程的两个解均为方程的解，学生易产生两种答案的错误，这一点教师应给以强调．
巩固练习：
教材P.49中3．
总结扩展：
对于本节内容的总结，教师可以指导学生进行总结，总结的内容是分式方程在哪一方面的运用．
本节课学习的主要内容是分式方程的应用之二——工作问题，在解决工作问题时，要抓住“工作量、工作效率及工作时间”这三要素和它们之间的关系，如果问题中没有明确的工作量，一般应设总工作量为1．
通过本节课内容的学习，学生将所学过的知识用于解决实际问题，从而进一步地提高了学生分析问题和解决问题的能力．
四、布置作业
教材 P.49中4、5．
五、板书设计
分式方程的应用
——工作问题
例1 例2

Good

整个过程流畅,内容点面俱到,我个人认为复习提问及总结安排得细致到位,不错!

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