12．8 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组（1）

一、素质教育目标
（一）知识教学点
使学生了解二元二次方程概念、二元二次方程的一般形式、二元二次方程组的概念；使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．
（二）能力训练点
1通过二元二次方程及二元二次方程组的定义的教学，提高学生判断能力；
2通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的教学思想，从而提高分析问题和解决问题的能力．
（三）德育渗透点
通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行辩证唯物主义思想的教育．
二、教学重点、难点
1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组．
2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想．关于学生对二元二次方程组概念的理解．由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然．关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明．
三、教学步骤
（一）明确目标
由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例，通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解；在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次．
（二）整体感知
由于学生已经学过二元一次方程及二元一次方程组的概念，所以通过具体的二元二次方程及二元二次方程组，让学生进行分析和比较，得出二元二次方程的定义及常见的二元二次方程组的判别方法，使学生容易接受和理解新的知识．
关于本节课学习的用消元法解二元二次方程组，用消元法解方程组对学生来说并不陌生，学生在学习二元一次方程组的解法时，就是用消元法来解的．因此在进行本节教学时，通过教师的启发引导，学生分析二元二次方程组的特点，探求消元的方法．从而从整体上看学生在课堂上讨论热烈，能调动学生学习的积极性，激发学生的学习情趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问：
（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？
（3）解二元一次方程组有哪几种方法？
问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．
2．新课讲解：
我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．
关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容．
（1）二元二次方程及二元二次方程组
观察方程x2＋2xy＋y2＋x＋y＝6，此方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2．
定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．
二元二次方程的一般形式是：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f＝0（a、b、c不同时为零）．其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项．
定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及由两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组．例如：

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．
我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解．
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法．
例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得y＝2x-1再代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解．
解：由②，得
y＝2x-1 ③
把③代入①，整理，得
15x2-23x＋8＝0．
解这个方程，得
把x1＝1代入③，得y1＝1；

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生完成解题过程．
3、巩固练习：
教材 P．57中1、2．
（四）总结、扩展
关于本节的小结，教师引导学生共同总结．
本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解．
学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：
1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式．
2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程．
3．解一元二次方程或一元一次方程．
4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数．
5．写出方程组的解．
四、布置作业
教材P．58中1、2．
五、板书设计
二元二次方程组及解法
1．二元二次方程组 2．二元二次方程的解法
（1）二元二次方程： （1）基本思想：……
………… （2）例1…………
………… …………
（2）二元二次方程组： …………
…………
…………
六、作业参考答案
1．解（1）由①得x=-y-1……③
③代入②，得
（-y-1）2＋4y2＝8
整理，得5y2＋2y-7＝0，

把y2=1代入③得x2＝-2，

（2）由 ②得x＝-2y③，
把③代入①整理得5y2＋12y＝0

把y1=0代入③得x1＝0，

2．解（1）②代入①整理得9x1-30x＋25＝0

（2）由②得x=y＋1代入③，把③代入①，整理，得5y2-34y＋29＝0



12．8由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组（2）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生在掌握用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组。理解“消元、降次”的数学方法．
（二）能力训练点：通过本例的教学，应使学生明白，对于特殊的由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，除用代入法来求解外，还有特殊的“消元、降次”，可把二元二次方程组转化为一元二次方程的方法．因此，教学时引导学生因题而异的分析、研究，寻找适合题意的解题方法，以培养学生观察能力和灵活运用数学知识解决问题的能力．
（三）德育渗透点：通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元，降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识．
二、教学重点、难点
1、2（略同教学要求）

通过一元二次方程来解，容易丢掉方程组的一个解．
三、教学步骤
（一）明确目标
上一节课，我们已经学习过二元二次方程、二元二次方程组的概念及用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组．这节课我们将继续学习具有某种特殊形式的由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．
通过直接明确目标，有利于将学生的注意力一下子集中起来，从而使学生能集中精力进行新的内容学习．
（二）整体感知
本课的教学内容是学生在上一节课的基础上，通过实例讲述说明了已经学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解．借助于解一元二次方程来解这样的方程组是学生首次接触的方法，所以教师通过有关一元二次方程的根与系数的关系，可以引导学生向此方面思考．通过教材中的例1，教师的引导与分析，可以调动学生学习的积极性，使学生由被动变为主动，从而可以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
复习提问：
1．一元二次方程的根与系数的关系是什么？
2．已知方程的两个根为x1、x2，则一元二次方程是什么？
3．已知两个数的和为7，积为12，求此二数．
4．解二元二次方程组的基本思路是什么？用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的一般步骤是什么？

方程组的解法，只不过未加直接说明，问题4实质是对上节课的内容进行了复习和巩固．
例1 解方程组
（见P56 例2）
分析：因此二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，因此可以采用代入法求解．仔细观察这个方程组的特征，可以发现，方程①恰是两数之和等于7，方程②恰是两数之积等于12．这样，解这类方程组就转化为已知两数和与积求两数的问题了，因此，可以将x、y看作某个一元二次方程的两个根，作出一个一元二次方程，从而可以得到原方程组的解．
解：方程组中的x、y是一元二次方程．
z2-7z+12＝0的两个根．
解这个方程，得z＝3或z=4．
∴ 原方程组的解为……
例2 解方程组
分析：这个方程组不是二元二次方程组，而是分式方程组，但如果


z2-8z＋7＝0的两个根，
解方程，得
z＝1，或z＝7．

∴ 原方程组的解为

巩固练习：
教材P．57中练习3．
（四）总结、扩展
关于本节内容的小结，由于内容较少也比较简单，所以由学生对本节课进行小结．

元二次方程组的解法可以借助于一元二次方程来解，并且比较简单．
四、布置作业
教材P．58中A3；B1．2
五、板书设计
二元二次方程组的解法

例2………… 例3…………
解：………… ………… …………
………… ………… …………
………… ………… …………
六、作业参考答案
教材P．65中A3
解：（1）方程组中的x、y是方程z2-6z＋7=0的两个根，解得z=3+

……
教材P．65中B2
宽为2厘米，长为6厘米。