12．9由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组（1）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．
（二）能力训练点：解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，其基本思想仍是“消元”和“降次”，通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力．
（三）德育渗透点：通过学习分解降次解二元二次方程组的方法，使学生进一步领会事物可以转化的思想．
二、教学重点、难点
1．教学重点
通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组．
2．教学难点
正确地判断出可以分解的二元二次方程．
三、教学步骤
（一）明确目标
我们已经学习了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．由于这类方程组比较复杂，解法变化也很多，并且不是都可以化成一元二次方程来解．因而我们只学习其中一种较为特殊的方程组的解法．
由于由两个二元二次方程组成的方程组，形式复杂，解法变化也较多，并且并不是都可以转化为一元二次方程来解，所以通过直接点题，明确本节课的目标，让学生立即清楚本节的目标，使学生的注意力被吸引过来，有利于新内容的学习．
（二）整体感知
由于解由两个二元二次方程所组成的一类方程组的解法的基本思路仍是“消元”和“降次”，因此通过分析和例题的讲解，学生可以比较熟练地掌握这种类型的方程组的解法，同时，通过学生的练习，可以进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
复习提问：
1．我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？
2．解二元二次方程组的基本思想是什么？
3．解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

5．把下列各式分解因式：
（1）x2-5xy＋6y2；（2）x2+2xy+y2-1．
（3）（x＋y）2-3（x＋2）＋2
关于问题设计的说明：
由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接受了第二种类型研究的要求．关于问题2的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题2让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题3、4是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题5的设计是为本节课的学习内容做准备的．
例1 解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元．我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组②的右边是0，左边x2-5xy+6y2是一个二次齐次式，并且可以分解为（x-2y）（x-3y），因此方程②可转化为（x-2y）（x-3y）＝0，即x-2y=0或x-3y＝0，从而可分别和方程①组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．
解：由②得
（x-2y）（x-3y）＝0，
x-2y＝0，或x-3y＝0．
因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．
例2 解方程组

分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以发现方程②的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方数，因此将右边 16移到左边后可利用平方差公式进行分解，（x-y）2-42＝（x-y＋4）（x-y-4），即x-y＋4＝0或x-y-4＝0，从而可仿例1的解法进行．
解：由②得
（x-y）2-42＝0．
即x-y＋4＝0，或x-y-4＝0．
因此，原方程组可转化为两个方程组

解这两个方程组，得原方程组的解为

巩固练习：
1．教材P．60中2．
（四）总结、扩展
本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？
这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解．
关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法．
四、布置作业
1．教材P．61中A1、2、3．
五、板书设计
二元二次方程组的解法（三）
例1…………… 例2…………
………… …………
………… …………
………… …………
六、作业参考答案
1．解：（1）（x＋y-5）（x＋y+2）＝0，即
x+y-5=0，或x＋y＋2＝0
（2）（x-2y）2-2（x-2y）-3＝0，而（x-2y-3）（x-2y＋1）＝0
∴ x-2y-3＝0，或x-2y＋1=0．
2．解：由①，得x-3y＝0，或x＋y＝0，


（2）由①得（x-y）（x-3y）＝0，即x-y＝0，或x-3y＝0，


3．解：由①得x＋y＝0，或x-y-5＝0，原方程组可化为


12.9 由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组（2）

一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生进一步掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法以及由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．
（二）能力训练点：通过学习简单的二元二次方程组的解法，提高学生的分析问题、观察问题和综合运用知识解决问题的能力．
（三）德育渗透点：使学生通过对解方程或方程组的消元和降次的基本思想的认识，进一步领会事物可以转化的辩证唯物主义思想观点．
二、教学重点、难点
1．教学重点：正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力．
2．教学难点：正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组．
三、教学步骤
（一）明确目标
我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统地复习二元二次方程组的解法．
关于本节复习课，是对已学习过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
（二）整体感知
由于本节内容是在学生已经学过的基础上进行复习的，其内容主要是熟练、灵活地解前面所学过的简单的二元二次方程组的两种类型，所以，在教学时，通过教师的讲和学生的练，启发学生分析简单的二元二次方程组的特点，寻找解方程组的思路，从而正确地解方程组，同时随时纠正学生在解方程组的过程中出现的问题．所以整个课堂能够积极、和谐，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
复习提问：
1．解二元二次方程组的基本思想是什么？
2．解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组的基本方法是什么？其步骤怎样？

法来解外，还有没有特殊的解法？应怎样去解？
4．解由一个二元二次方程组和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的二元二次方程组的方法是什么？其步骤怎样？
作为复习提问中的四个题目，对二元二次方程组中的基本内容作了复习，以便使学生能正确地利用这些基本知识解决本节课的实际内容．
新课讲解与课堂练习：
1．解下列方程组：



分析与答案：
解二元二次方程组，首先应分析方程组的特征，然后根据方程组的特征来确定解方程组的方法．
对于题目（1），方程②是一个二元一次方程，所以，方程组（1）可以用代入法来解．
对于方程组（2），符合用代入法解题的特点，可以采用代入法解

方程组的特殊解法，所以可以借助于解一元二次方程来解方程组．

既可以用代入法来解，也可以借助于一元二次方程来解，但要注意的是要检验．
对于方程组（4），由于方程①可以化成两个二元一次方程：
x＋y-1＝0，3x-y＋3＝0，它们与方程组中的方程②组合成两个方程组：

分别求解，从而求出原方程组的解．
对于方程组（5），由于方程①可以分解为：
x＋y＝0，x-y-5＝0，它们与方程②组成方程组：

分别求解，从而解出方程组的解．
2．解方程组：

分析：这个方程组是一个分式方程组，如果采用去分母，则很困难，仔细观察两个方程可知，方程中的分母分别为x2或x、y2或y，如果设



从而可解出原方程组的解为

3．解方程组

分析：这个方程组的两个方程都不含有未知数的一次项，消去常数项后，就可以得到形如ax2＋bxy＋cy2＝0的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就可以求出原方程组的解．
解：①-②×4，得
x2-5xy＋4y2＝0．
∴ x-y＝0或x-4y＝0．
∴ 原方程组可化为

解这两个方程组，得原方程组的解为：

（四）总结扩展
这节课我们进一步学习了如何解二元二次方程组．一般地说，解二元二次方程组时，首先分析方程组的特征，然后根据方程组的特征确定方程组的解法．如果发现方程组中的两个方程都不含有一次项的特征，可以采用消去常数项，依照题3的解法．
对于某些特殊的方程组，如无理方程组，或分式方程组，经过变形换元后，也可以转化为二元二次方程组的形式来解．要注意的是解这类方程组时要进行验根．
四、布置作业
1、P61B 1、2
求下面两个方程组的解：

五、板书设计
二元二次方程组的解法复习
1．（1）………… 2．………… 3．………
（2） 解：…………… 解：………
（3）……… ………… …………
（4）……… ………… …………
（5）……… ………… …………
六、作业参考答案






2．


2（1）、（2）均参考1（1）解法．
（补：）解：（1）①×3-②得3x2+2xy-y2＝0，
可得3x-y＝0，x-y＝0，