课题 二次函数y=ax2的图象（一）

一、教学目的
1．使学生初步理解二次函数的概念。
2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点
重点：对二次函数概念的初步理解。
难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

三、教学过程
复习提问
1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。
2．什么是一无二次方程？
3．怎样用找点法画函数的图象？

新课
1．由具体问题引出二次函数的定义。
（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。
（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。
（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：（1）函数解析式是S=πR2；
（2）函数析式是S=30L—L2；
（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即
y=50x2+100x+50。
由以上三例启发学生归纳出：
（1）函数解析式均为整式；
（2）处变量的最高次数是2。
我们说三个式子都表示的是二次函数。
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。
2．画二次函数y=x2的图象。
按照描点法分三步画图：
（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；
（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；
（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。
注意两点：
（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。
（2）所画的图象是近似的。
3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。
4．引入抛物线的概念。
关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

小结
1．二次函数的定义。
（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。
2．二次函数y=x2的图象。
（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题
下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？
（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；
（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；
（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。
作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题
1． 注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。
2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：
（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）
（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）


课题 二次函数 y=ax2的图象（二）

一、 教学目的
1． 使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
2． 使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识。
3． 进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育。

二、 教学重点、难点
重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质。
难点：渗透数形结合思想。

三、 教学过程
复习提问
1． 在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是二次函数？
（1）y=12x+7； (2 ) y= 5x / (6x-1)
（3）y=(x-2)2 - x2 ； (4 ) y=4(x+3)2+2x；
2． 抛物线y=x2的对称轴是什么？顶点是什么？
3． 在y=ax2+bx+c(a≠0)中，若b=0，或c=0，或b,c同时为0，解析式是什么？
4． 请同学们回忆，前面我们在学习了正比例函数、一次函数后，是如何直一步研究这些函数的？（答：先用描点法画出函数图象，再结合图象研究性质。）
新课
1． 运用新旧知识联系、对比的方法讲课本P119中例1。把y=x2,y= x2,y=2x2S三个函数的自变量与函数的对应值列在一个表中，便于对比。

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y=x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

y= x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8

y=2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32
观察所列的表，对于y=2x2中所得对应值（-4，32）很大，故还可以按课本P119中的第2个表来处理。
观察课本的图13-15，我们可得到结论：
在y=ax2(a>0)中，x2的系数越大，抛物线开口越小。
结合图13-15，师生一道归纳得到结论。
对于y= x2，y=2x2的图象：
（1）它们的开口方向都向上；
（2）它们的对称轴是y轴；
（3）它们的顶点是原点。
2． 运用对比的方法讲解例2。
仍把y= -x2与y=x2的图象对比。
引导同学得到结论：
(1) 从函数的解析式上看：两个函数式仅相关一个符号。
（2）从列表中的y值看：y=x2的表中，y≥0，y=-x2的表中y≤0。
（3）从图象上看：在同一坐标系中抛物线y=-x2与y=x2关于x轴对称。（联想：在y=x2中a>0时的抛物线与a<0时的抛物线关于轴对称。）
（4）抛物线y = - x2的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点。
小结
1． 抛物线的对称轴是轴，顶点是原点。
2． a>o时，抛物线y=ax2的开口向上。
3． a<0时，抛物线y=ax2的开口向下。
练习：P121中1，2。
作业：P121中B组1，2。

补充例题
1． 在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象：
y=6x2 ， y=-6x2 。
2． 已知点M（k，2）在抛物线y=x2上,
（1） 求k的值。
（2） 点N（k,4）在抛物线y=x2上吗？
（3） 点H（k,2）在抛物线y=x2上吗？
3． 已知点A（3，a）在抛物线y=x2上，
（1） 求a的值。
（2） 点B（3，-a ）在抛物线y=x2上吗？

四、 教学注意问题
1． 注意渗透分类讨论思想。比如在y=ax2中a>0时，y=ax2的图象开口向上；当a<0时，y=ax2的图象开口向下，等等。
2．注意训练学生对比联想的思维方法。